Строительство планетариев без купола: плоские экраны
Типы куполов. Источник: Yan et al., Mechanism of coupled instability of single-layer reticulated domes, 2016
ПОСТРОЕНИЕ СЕТЧАТОГО КУПОЛА
В 1879 году немецкий инженер Иоганн Вильгельм Шведлер впервые предложил теорию расчета купола как пространственной конструкции. В отличие от ребристо-кольцевых куполов, рассчитываемых как плоскостные системы по меридиональным сечениям, купол Шведлера представляет собой пространственно работающую статически определимую конструкцию, собранную из меридиональных, кольцевых и диагональных элементов, образующих жесткий (треугольный) каркас.
Новая система значительно уменьшала вес конструкции (до 30 %), упрощала сборку и позволяло значительно увеличить пролеты (до 62м). Купола Шведлера пользовались большой популярностью как в Европе, так и России вплоть до начала XX века.
На ранних этапах развития сетчатых конструкций, (системы Шведлера и Феппля) купола имели центрально-симметричную конструкцию,
что приводило к увеличению плотности элементов в верхней центральной зоне и неравномерному распределению материала.
В секторально-сетчатом куполе, или куполе Чивитта более равномерное деление на элементы достигалось за счет разбивки поверхности на 8 секторов, состоящих из кольцевых и диагональных соединений. Наконец, вершиной развития сетчатых купольных конструкций стал геодезический купол, изобретенный Вальтером Бауэрсфельдом при создании планетария. О в отличие от предыдущих систем, принцип его построения основан на геодезическом подразделении сферы и может применяться только для создания идеально-сферических куполов.
Построение сетчатого купола на основе проекции икосаэдра
ПОСТРОЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО КУПОЛА
Конструкция купола представляет собой деление сферического сегмента на треугольники посредством проекции икосаэдра. В искомую сферу вписывается икосаэдр, вершины которого лежат на поверхности сферы.
Далее производится деление каждой грани (треугольника) икосаэдра на равные части. Точки пересечения граней, вершины новых треугольников проецируются на поверхность искомой сферы. Спроецированные точки соединяются линиями — получение спроецированных треугольников. Процедура повторяется до достижения необходимого количества треугольников/необходимой длины стержней.
Для создания цифровой модели купола была разработана параметрическая модель в Rhino/Grasshopper, включающая в себя алгоритм подразделения сферы на множество треугольников.
Примечание:
Спроецированные треугольники неизбежно будут содержать несколько разных сторон и углов. Грани наименьшей длины (463 мм) будут находиться в узлах соединения вершин искомых треугольников, грани наибольшей длины (661 мм) — в центре. Длины элементов были определены Бауэрсфельдом математически и произведены на фабрике с точностью 1:10.000 длины стержня , что для строительной индустрии того времени было невиданным уровнем технического оснащения и качества.
параметрическая модель длин элементов сетчатого купола
РАСЧЕТ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО КУПОЛА
После создания параметрической модели была собрана расчетная модель в Karamba 3D, чтобы проверить, как работает конструкция под действием различных нагрузок и как обеспечивается ее пространственная жесткость.
Определение усилий от снеговой нагрузки
Cправа представлена диаграмма напряжений от снеговой нагрузки. Для расчета было взято нормативное значение снеговой нагрузки для Йены (аналогично Берлину) находящейся на северо-германском плато, составляющее 0.85 kN/m2.
Интенсивность снеговой нагрузки по поверхности купола обычно принимают по закону р = р0 cos(φ), где p0 — равномерно распределенная нагрузка по проекции поверхности на горизонтальную плоскость.
Кольцевое усилие меняет знак при φ = 45°.
Диаграмма напряжений иллюстрирует этот принцип, подтверждая теоретические данные: действительно в верхней части купола все элементы подвержены сжатию, в то время как в нижней зоне в кольцевых (горизонтальных) элементах возникают растягивающие напряжения.
Максимальная деформация составляет 7 мм.
Диаграмма напряжений купола под действием снеговой нагрузки. Karamba3D
Определение усилий от ветровой нагрузки
Усилия от ветровой нагрузки согласно литературе определяются приближенно путем замены действительной эпюры ветрового давления суммой двух эпюр: симметричной эпюры:
W1 = W0 cos*2φ,
и кососимметричной эпюры:
W2 = 0,5W0 sin*2φ sin*2φ,
где W0 — скоростной напор ветра.
То есть по формуле: W=W1+W2
Нормативное значение ветровой нагрузки для Йены, как и для Берлина, составляет W0= 0.39 кН/м2.
На диаграмме напряжений от ветровой нагрузки видно, что только малая часть купола подвержена деформации вовнутрь в наветренной стороны. Остальная часть купола подвержена выпучиванию наружу, так называемому «отсосу». В результате в значительной части конструкции возникают растягивающие напряжения.
Максимальная деформация составляет 7,2 мм.